Hola, en ambos casos tu amiga no tendrá inconveniente en visitar España, ya que Chile No necesita visado para estancias inferiores a tres meses.
Si deseas enviarle una carta de invitación tampoco tendrá inconveniente en poder viajar.
Cuando viaja un menor de edad ya sea solo o con el padre o la madre, requerirá la autorización y la firma del otro progenitor, para poder ingresar y viajar al país del destino.
Creo mi estimada amiga anónima que se te escapa de las manos el poder decidir si el padre autoriza el viaje o no del niño. Ese es el común acuerdo entre los padres.
Ahora como tu dices, si el padre se niega luego, cuando ya le dió la autorización, ya nadie puede hacer nada, ni el padre ni las autoridades, porque ya hay un papel firmado donde dió la autorización, eso es válido durante toda la permanencia que estará el niño en España.